七年級上冊數(shù)學(xué)知識點最全整理
來源：好上學(xué) ??時間：2023-07-25
1.?有理數(shù)
1.1.?從自然數(shù)到有理數(shù)
分?jǐn)?shù)都可以化為小數(shù)。分?jǐn)?shù)在化成小數(shù)時，結(jié)果可能是有限小數(shù)，也可能是無限循環(huán)小數(shù)。
大于0的數(shù)，叫正數(shù);小于0的數(shù)，叫負(fù)數(shù);0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
1.2.?數(shù)軸
像這樣規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸。
任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示。
如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。
0的相反數(shù)是0。
在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)(0除外)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等。
1.3.?絕對值
我們把一個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。
一個數(shù)a的絕對值表示為|a|。
一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。
互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。
1.4.?有理數(shù)的大小比較
在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大;兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小。
2.?有理數(shù)的運算
2.1.?有理數(shù)的加法
同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加。
異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0;一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。
加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。
a?+?b?=?b?+?a
加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前面兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。
(?a?+?b?)?+?c?=?a?+?(?b?+?c?)
2.2.?有理數(shù)的減法
減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。
有理數(shù)加減混合運算的一般步驟是先利用減法法則，將減法轉(zhuǎn)換成加法，再運用加法交換律和結(jié)合律，使計算簡便。
2.3.?有理數(shù)的乘法
兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。
任何數(shù)與零相乘，積為零。
(?多數(shù)相乘，偶數(shù)個負(fù)數(shù)相乘為正，奇數(shù)個負(fù)數(shù)相乘為負(fù)。)
有多個不為0的有理數(shù)相乘時，可以先確定積的符號，再將絕對值相乘。若其中一個乘數(shù)為0，則積為0。
若兩個有理數(shù)的乘積為1，就稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。
0不論乘以任何數(shù)都等于0，不等于1，所以0沒有倒數(shù)。
乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。
a?×?b?=?b?×?a
乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。
(?a?×?b?)?×?c?=?a?×?(?b?×?c?)
分配律：一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加。
a?×?(?b?+?c?)=?a?×?b?+?a?×?c
2.4.?有理數(shù)的除法
兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除;0除以任何一個不為0的數(shù)都得0。
除以一個數(shù)(不等于0)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。
2.5.?有理數(shù)的乘方
一般地，在數(shù)學(xué)上我們把n個相同的因數(shù)a相乘的積記做an，即
a?×?a?×?......?×?a?×?a?=?an
求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。
2.6.?有理數(shù)的混合運算
一般地，有理數(shù)混合運算的法則是：
先算乘方，再算乘除，最后算加減，如有括號，先進(jìn)行括號里的運算。
2.7.?近似數(shù)
與實際完全符合的數(shù)稱為準(zhǔn)確數(shù)。
與實際接近的數(shù)稱為近似數(shù)。
對近似數(shù)，需要知道它的精確度，一個近似數(shù)的精確度可用四舍五入法表述。
3.?實數(shù)
3.1.?平方根
一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
一個正數(shù)有正、負(fù)兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根。
一個正數(shù)a的平方根可以用“±√a”表示?(?讀做“正、負(fù)根號a”)，其中a叫做被開方數(shù)。
求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。開平方是平方運算的逆運算，可以運用平方運算求一個數(shù)的平方根。
正數(shù)的正平方根稱為算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。
3.2.?實數(shù)
=?1.414?213?562?373?095?048......它既不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)?(不能化為分?jǐn)?shù))
像?這種無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。如：π，?......
如果我們把整數(shù)看做小數(shù)部分為零的有限小數(shù)，那么有理數(shù)便是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的統(tǒng)稱。
和有理數(shù)一樣，無理數(shù)也可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)。
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。
在實數(shù)范圍內(nèi)，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示;反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。所以，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。
在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)。
3.3.?立方根
一般地，一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，記做?。其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，符號“?”讀做“三次根號”。
求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。
一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)得立方根，0的立方根是0。
3.4.?實數(shù)的運算
實數(shù)運算的順序是：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號，則先進(jìn)行括號里面的運算。
4.?代數(shù)式
4.1.?用字母表示數(shù)
若a≥?0，則|a|?=?a?;若a?
4.2.?代數(shù)式
如：10a+2b，2a2這樣，由數(shù)、表示數(shù)的字母和運算符號組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。這里的運算是指加、減、乘、除、乘方和開方，單獨一個數(shù)或者一個字母也稱代數(shù)式。
4.3.?代數(shù)式的值
一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。
4.4.?整式
由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)或一個字母也叫單項式，如0，-1，a......
單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。如：-3x的系數(shù)是-3。
一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如：ab的次數(shù)是2，-3x的次數(shù)是1。
由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項，次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。
如：a2?+?3a?-?2的項有：a2、3a、-?2，常數(shù)項是-?2，次數(shù)最高的項a2的次數(shù)是2，a2?+?3a?-?2稱為二次多項式。
單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
4.5.?合并同類型
多項式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。所有常數(shù)項也看做同類項。把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。
合并同類項的法則是：
把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。
4.6.?整式的加減
代數(shù)式運算的去括號法則：
括號前是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變號;括號前是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項都變號。
5.?一元一次方程
5.1.?一元一次方程
如：2x+12=14，兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的方程叫做一元一次方程。
使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解。
5.2.?等式的基本性質(zhì)
等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或式，所得的結(jié)果仍是等式。
如果?a?=?b，那么a?±?c?=?b?±?c
等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘或都除以同一個數(shù)或式(除數(shù)不能為0)，所得的結(jié)果仍是等式。
如果?a?=?b，那么ac?=?bc，或a/c?=?b/c?(c≠0)
5.3.?一元一次方程的解法
一般地，把方程中的項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。移項時，通常把含有未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移到等號的右邊。
移項時應(yīng)注意改變項的符號。
方程變形的常用方法：
去分母、去括號、移項、合并同類項......(去分母和移項的依據(jù)是等式的性質(zhì)，去括號和合并同類項的依據(jù)是代數(shù)式的運算法則)
一般地，解一元一次方程的基本程序是：
去分母?→?去括號?→?移項?→?合并同類項?→?兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)
5.4.?一元一次方程的應(yīng)用
運用方程解決實際問題的一般過程：
1.審題
2.設(shè)元
3.列方程
4.解方程
5.檢驗
問題解決的基本步驟：
1.理解問題
2.制定計劃
3.執(zhí)行計劃
4.回顧
6.?圖形的初步知識
6.1.?幾何圖形
點、線、面、體稱為幾何圖形。
平面圖形：圖形所表示的各個部分都在同一個平面內(nèi)。
立體圖形：圖形所表示的各個部分不在同一個平面內(nèi)。
6.2.?線段、射線和直線
線段可以用表示它的兩個端點的大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示，如：“線段AB”或“線段BA”或“線段a”。
直線可以用它上面任意兩個點的大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示，如：“直線AB”或“直線BA”或“直線a”。
射線用表示它的端點和射線上另外任意一點的兩個字母表示，表示端點的字母要寫在前面，不能顛倒。
直線有下面的基本事實：
經(jīng)過兩點有一條而且只有一條直線。(即：兩點確定一條直線)
6.3.?線段的長短比較
線段有下面的基本事實：
在所有連結(jié)兩點的線中，線段最短。(即：兩點之間線段最短)
連結(jié)兩點的線段的長度叫做這兩點間的距離。
6.4.?線段的和差
一般地，如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那么這條線段叫做另兩條線段的和;如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫做另兩條線段的差。
6.5.?角與角的度量
角是由兩公條公共端點的射線所組成的圖形，這個公共端點叫做這個角的頂點。
角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。
度、分、秒是角的基本度量單位。
1度=60分，1分=60秒
6.6.?角的大小比較
等于90。的角是直角，小于90。的角是銳角，大于直角而小于平角的角是鈍角。
6.7.?角的和差
一般地，如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)的和，那么這個角就叫做另兩個角的和;如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)的差，那么這個角就叫做另兩個角的差。
從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
6.8.?余角和補角
如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角。
如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角互為補角，簡稱互補，也可以說其中一個角是另一個角的補角。
同角或等角的余角相等。
同角或等角的補角相等。
6.9.?直線的相交
如果兩條直線只有一個公共點，就說這兩條直線相交。
該公共點叫做這兩條直線的交點。
對頂角的頂點相同，角的兩邊互為反向延長線。
對頂角相等。
當(dāng)兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個是直角，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線。
連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
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