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小學(xué)數(shù)學(xué)1—6年級(jí)必考的34個(gè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)公式,趕緊給孩子收藏?。ǘ?/h1>

來(lái)源:好上學(xué) ??時(shí)間:2023-07-22

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小學(xué)數(shù)學(xué)1—6年級(jí)必考的34個(gè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)公式,趕緊給孩子收藏!(二)


17、數(shù)的整除:

基本概念和符號(hào):
1、整除:如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余數(shù),那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。
2、常用符號(hào):整除符號(hào)“|”,不能整除符號(hào)“ ”;因?yàn)榉?hào)“∵”,所以的符號(hào)“∴”;

整除判斷方法:
1.能被2、5整除:末位上的數(shù)字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。
3.能被8、125整除:末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。
4.能被3、9整除:各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。
②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì):
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整數(shù),那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用:

基本概念:
對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù),q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì):
①余數(shù)小于除數(shù)。
②若a、b除以c的余數(shù)相同,則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。
④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19、余數(shù)、同余與周期:

同余的定義:
①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同,則稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余。
②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。

同余的性質(zhì):
①自身性:a≡a(mod m);
②對(duì)稱(chēng)性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數(shù)c,則a×c≡ b×c(mod m×c);

關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí):
①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

被3、9、11除后的余數(shù)特征:
①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和,Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

費(fèi)爾馬小定理:
如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)),a是自然數(shù),且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用:

基本概念與性質(zhì):
分?jǐn)?shù):把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)。
分?jǐn)?shù)的性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變。
分?jǐn)?shù)單位:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數(shù)。
百分?jǐn)?shù):表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法:
①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。
②對(duì)應(yīng)思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。
③轉(zhuǎn)化思維方法:把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)(在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。
④假設(shè)思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立,計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果,然后再進(jìn)行調(diào)整,求出最后結(jié)果。
⑤量不變思維方法:在變化的各個(gè)量當(dāng)中,總有一個(gè)量是不變的,不論其他量如何變化,而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發(fā)生變化,總量不變。B、總量發(fā)生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化,但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。
⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。
⑧濃度配比法:一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21、分?jǐn)?shù)大小的比較:

基本方法:
①通分分子法:使所有分?jǐn)?shù)的分子相同,根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。
②通分分母法:使所有分?jǐn)?shù)的分母相同,根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。
③基準(zhǔn)數(shù)法:確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。
④分子和分母大小比較法:當(dāng)分子和分母的差一定時(shí),分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。
⑤倍率比較法:當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小,除了運(yùn)用以上方法外,可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律)
⑥轉(zhuǎn)化比較方法:把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。
⑦倍數(shù)比較法:用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù),結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。
⑧大小比較法:用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù),得出的數(shù)和0比較。
⑨倒數(shù)比較法:利用倒數(shù)比較大小,然后確定原數(shù)的大小。
⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法:確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù),每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22、分?jǐn)?shù)拆分:

將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式:


23、完全平方數(shù):

完全平方數(shù)特征:
1.末位數(shù)字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。
5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。
6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。
7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2


24、比和比例:

比:
兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng),比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

比值:
比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商,叫做比值。

比的性質(zhì):
比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(零除外),比值不變。

比例:
表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì):
兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘),ad=bc。

正比例:
若A擴(kuò)大或縮小幾倍,B也擴(kuò)大或縮小幾倍(AB的商不變時(shí)),則A與B成正比。

反比例:
若A擴(kuò)大或縮小幾倍,B也縮小或擴(kuò)大幾倍(AB的積不變時(shí)),則A與B成反比。

比例尺:
圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配:
把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份,叫按比例分配。

25、綜合行程:

基本概念:
行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的,它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式:
路程=速度×?xí)r間;路程÷時(shí)間=速度;路程÷速度=時(shí)間

關(guān)鍵問(wèn)題:
確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

相遇問(wèn)題:速度和×相遇時(shí)間=相遇路程(請(qǐng)寫(xiě)出其他公式)
追及問(wèn)題:追及時(shí)間=路程差÷速度差(寫(xiě)出其他公式)
流水問(wèn)題:順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r(shí)間
逆水行程=(船速-水速)×逆水時(shí)間
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
水 速=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2
流水問(wèn)題:關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度,參照以上公式。
過(guò)橋問(wèn)題:關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程,參照以上公式。
主要方法:畫(huà)線(xiàn)段圖法

基本題型:
已知路程(相遇路程、追及路程)、時(shí)間(相遇時(shí)間、追及時(shí)間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個(gè)量,求第三個(gè)量。


26、工程問(wèn)題:

基本公式:
①工作總量=工作效率×工作時(shí)間
②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間
③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率

基本思路:
①假設(shè)工作總量為“1”(和總工作量無(wú)關(guān));
②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)),利用上述三個(gè)基本關(guān)系,可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問(wèn)題:
確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理:

條件分析—假設(shè)法:
假設(shè)可能情況中的一種成立,然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷,如果有與題設(shè)條件矛盾的情況,說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的,那么與他的相反情況是成立的。例如,假設(shè)a是偶數(shù)成立,在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾,那么a一定是奇數(shù)。

條件分析—列表法:
當(dāng)題設(shè)條件比較多,需要多次假設(shè)才能完成時(shí),就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況,觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況,運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

條件分析—圖表法:
當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí),就可用連線(xiàn)表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系,有連線(xiàn)則表示“是,有”等肯定的狀態(tài),沒(méi)有連線(xiàn)則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài),有連線(xiàn)表示認(rèn)識(shí),沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。

邏輯計(jì)算:
在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外,還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

簡(jiǎn)單歸納與推理:
根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù),分析其中存在的規(guī)律和方法,并從特殊情況推廣到一般情況,并遞推出相關(guān)的關(guān)系式,從而得到問(wèn)題的解決。

28、幾何面積:

基本思路:
在一些面積的計(jì)算上,不能直接運(yùn)用公式的情況下,一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ),平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等,使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法:
1.連輔助線(xiàn)方法
2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。
3.大膽假設(shè)(有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn),解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上)。
4.利用特殊規(guī)律
①等腰直角三角形,已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)
②梯形對(duì)角線(xiàn)連線(xiàn)后,兩腰部分面積相等。
③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29時(shí)鐘問(wèn)題—快慢表問(wèn)題:

基本思路:
1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題;
2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體;
3、路程的單位是分格(表一周為60分格);
4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間;
5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系;

30、時(shí)鐘問(wèn)題—鐘面追及:

基本思路:
封閉曲線(xiàn)上的追及問(wèn)題。

關(guān)鍵問(wèn)題:
①確定分針與時(shí)針的初始位置;
②確定分針與時(shí)針的路程差;

基本方法:
①分格方法:
時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格,每小格我們稱(chēng)為1分格。分針每小時(shí)走60分格,即一周;而時(shí)針只走5分格,故分針每分鐘走1分格,時(shí)針每分鐘走1/12分格。
②度數(shù)方法:
從角度觀點(diǎn)看,鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60度,即6°,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度,即1/2度。

31、濃度與配比:

經(jīng)驗(yàn)總結(jié):
在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系,進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
溶質(zhì):溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質(zhì)。
溶劑:溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)(例如水、汽油等)叫溶劑。
溶液:溶質(zhì)和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液。

基本公式:
溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量;
溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度;
濃度= 溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/(溶劑+溶質(zhì))×100%

經(jīng)驗(yàn)總結(jié):
在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系,進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

32、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題:

利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=(*價(jià)-成本)÷成本×100%;
*價(jià)=成本×(1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
成本=*價(jià)÷(1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定;
定價(jià)=成本×(1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù));
本金:儲(chǔ)蓄的金額;
利率:利息和本金的比;
利息=本金×利率×期數(shù);
含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×(1+增值稅稅率);

33、不定方程:

一次不定方程:
含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;

常規(guī)方法:
觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法;

多元不定方程:
含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;

多元不定方程解法:
根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值,或者消去一個(gè)未知數(shù),這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;

涉及知識(shí)點(diǎn):
列方程、數(shù)的整除、大小比較;

解不定方程的步驟:
1、列方程;2、消元;3、寫(xiě)出表達(dá)式;4、確定范圍;5、確定特征;6、確定答案;

技巧總結(jié):
A、寫(xiě)出表達(dá)式的技巧:用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù),同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù);
B、消元技巧:消掉范圍大的未知數(shù);

34、循環(huán)小數(shù):

把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則:

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù):將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子,分母的各位都是9,9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,最后能約分的再約分。
②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù):分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差,分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,末幾位是0,0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。
分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法:
①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。
②一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。

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