二次函數(shù)知識點總結(jié) 二次函數(shù)重難點

來源：好上學 ??時間：2023-07-26

高考是一個是一場千軍萬馬過獨木橋的戰(zhàn)役。面對高考，考生總是有很多困惑，什么時候開始報名？高考體檢對報考專業(yè)有什么影響？什么時候填報志愿？怎么填報志愿？等等，為了幫助考生解惑，好上學整理了二次函數(shù)知識點總結(jié) 二次函數(shù)重難點相關(guān)信息，供考生參考，一起來看一下吧

　　函數(shù)既是數(shù)學學習的重點，也是難點，考試中，很多同學都“栽”在這上面了。如果不把二次函數(shù)弄清楚，其它由函數(shù)拓展的知識點可能也會不理解。所以為了大家更加方便去學習數(shù)學，小編在此獻上二次函數(shù)知識點總結(jié)一份。

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<><0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<>

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達式

　　一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2;+k?[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x1)(x-x2)?[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和?B(x2，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2a?k=(4ac-b^2;)/4a?x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x?=?-b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P?[?-b/2a?，(4ac-b^2;)/4a?]。

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=?b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。<><0時，拋物線向下開口。<><0時，拋物線向下開口。<><0時，拋物線向下開口。<>

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。<><0)，對稱軸在y軸右。<><0)，對稱軸在y軸右。<><0)，對稱軸在y軸右。<>

　　5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點個數(shù)

　　Δ=?b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=?b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=?b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。<><0時，拋物線與x軸沒有交點。<><0時，拋物線與x軸沒有交點。<><0時，拋物線與x軸沒有交點。<>

　　V.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c，

　　當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，

　　即ax^2;+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　畫拋物線y=ax2時，應先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。

　　二次函數(shù)解析式的幾種形式

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c?(a,b,c為常數(shù)，a≠0).

　　(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

　　(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

　　說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點

　　如果圖像經(jīng)過原點，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設(shè)y=ax^2+k

　　定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<><0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<>

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達式

　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

　?、陧旤c式[拋物線的頂點?P(h，k)?]：y=a(x-h)^2+k

　?、劢稽c式[僅限于與x軸有交點?A(x1,0)?和?B(x2,0)?的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)

　　以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化：

　?、僖话闶胶晚旤c式的關(guān)系

　　對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

　　h=-b/2a=(x1+x2)/2

　　k=(4ac-b^2)/4a