高一數(shù)學必修一知識點總結(jié)，高一數(shù)學必修一知識點匯總
來源：好上學 ??時間：2023-07-30
高中數(shù)學對同學們來說一直都是比較困難的。所以，從高一開始就要好好把握。為了讓大家更好地學習，小編在此為大家整理了一份高一數(shù)學必修一知識點總結(jié)。
第一章 *(jihe)與函數(shù)概念
一、*(jihe)有關(guān)概念
1、*的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個*，其中每一個對象叫元素。
2、*的中元素的三個特性：
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的*，*中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的*的元素。
(2)任何一個給定的*中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個*時，僅算一個元素。
(3)*中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個*是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)*元素的三個特性使*本身具有了確定性和整體性。
3、*的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示*：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2.*的表示方法：列舉法與描述法。
注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作：N
正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R
關(guān)于“屬于”的概念
*的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是*A的元素，就說a屬于*A 記作 a∈A ，相反，a不屬于*A 記作 a?A
列舉法：把*中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
描述法：將*中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示*的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個*的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
?、跀?shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、*的分類：
1.有限集 含有有限個元素的*
2.無限集 含有無限個元素的*
3.空集 不含任何元素的* 例：{x|x2=-5｝
二、*間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一*。
反之: *A不包含于*B,或*B不包含*A,記作A B或B A
2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
結(jié)論：對于兩個*A與B，如果*A的任何一個元素都是*B的元素，同時,*B的任何一個元素都是*A的元素，我們就說*A等于*B，即：A=B
?、偃魏我粋€*是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就說*A是*B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
?、?如果AíB 同時 BíA 那么A=B
3.不含任何元素的*叫做空集，記為Φ
規(guī)定: 空集是任何*的子集， 空集是任何非空*的真子集。
三、*的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的*,叫做A,B的交集.
記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定義：一般地，由所有屬于*A或?qū)儆?B的元素所組成的*，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補集
(1)補集：設(shè)S是一個*，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬于A的元素組成的*，叫做S中子集A的補集(或余集)
記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}
(2)全集：如果*S含有我們所要研究的各個*的全部元素，這個*就可以看作一個全集。通常用U來表示。
(3)性質(zhì)：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于*A中的任意一個數(shù)x，在*B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從*A到*B的一個函數(shù).記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的*{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.
注意：○2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的*;○3 函數(shù)的定義域、值域要寫成*或區(qū)間的形式.
定義域補充
能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的*稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的*.(6)指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
再注意：(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。
3.函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的*C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2)畫法
A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
4.快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.什么叫做映射
一般地，設(shè)A、B是兩個非空的*，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于*A中的任意一個元素x，在*B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A B為從*A到*B的一個映射。記作“f：A B”
給定一個*A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①*A、B及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從*A到*B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：(Ⅰ)*A中的每一個元素，在*B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)*A中不同的元素，在*B中對應(yīng)的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求*B中的每一個元素在*A中都有原象。
6.常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：
○1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);○2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域;○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.
注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值
補充一：分段函數(shù) (參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.
補充二：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函數(shù)單調(diào)性
(1).增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1
如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1
注意：○1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì);
○2 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2;當x1
(2) 圖象的特點
如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(A)定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：
函數(shù) 單調(diào)性
u=g(x) 增 增 減 減
y=f(u) 增 減 增 減
y=f[g(x)] 增 減 減 增
注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?
8.函數(shù)的奇偶性
(1)偶函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).
(2).奇函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).
注意：○1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
○2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;○2 確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;○3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù).
注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .
9、函數(shù)的解析表達式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第二章 基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.
當 是奇數(shù)時，正數(shù)的 次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的 次方根是一個負數(shù).此時， 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical)，這里 叫做根指數(shù)(radical exponent)， 叫做被開方數(shù)(radicand).
當 是偶數(shù)時，正數(shù)的 次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù) 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得：負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。
2.分數(shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義
指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)(exponential function)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1 0
圖象特征 函數(shù)性質(zhì)
向x、y軸正負方向無限延伸 函數(shù)的定義域為R
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都在x軸上方 函數(shù)的值域為R+
函數(shù)圖象都過定點(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快; 函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
(2)若 ，則 ; 取遍所有正數(shù)當且僅當 ;
(3)對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ;
(4)當 時，若 ，則 ;
二、對數(shù)函數(shù)
(一)對數(shù)
1、對數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： ( — 底數(shù)， — 真數(shù)， — 對數(shù)式)
說明：○1 注意底數(shù)的限制 ，且 ;
○2 注意對數(shù)的書寫格式.
兩個重要對數(shù)：
○1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ;
○2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) .
2、對數(shù)式與指數(shù)式的互化
對數(shù)式 指數(shù)式
對數(shù)底數(shù) ← → 冪底數(shù)
對數(shù) ← → 指數(shù)
真數(shù) ← → 冪
(二)對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞).
注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。
○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制.
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a>1 0
圖象特征 函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)圖象都在y軸右側(cè) 函數(shù)的定義域為(0，+∞)
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù)
向y軸正負方向無限延伸 函數(shù)的值域為R
函數(shù)圖象都過定點(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù)
第一象限的圖象縱坐標都大于0 第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0 第二象限的圖象縱坐標都小于0
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1);
(2) 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地，當 時，冪函數(shù)的圖象下凸;當 時，冪函數(shù)的圖象上凸;
(3) 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第三章 函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。
2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點.
3、函數(shù)零點的求法：
求函數(shù) 的零點：
○1 (代數(shù)法)求方程 的實數(shù)根;
○2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點：
二次函數(shù) .
1)△>0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.
2)△=0，方程 有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
3)△<0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點.
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