高中數(shù)學(xué)五心定理講解
來源：好上學(xué) ??時間：2023-07-30
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。
一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）
重心的性質(zhì)：
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。
2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質(zhì)：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。
4、計算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計算下列臨時變量：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點(diǎn)連向另外兩個頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。
垂心的性質(zhì)：
1、三角形三個頂點(diǎn)，三個垂足，垂心這7個點(diǎn)可以得到6個四點(diǎn)圓。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））
3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F ，求證：CF⊥AB
證明：
連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形內(nèi)心定理
三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。
內(nèi)心的性質(zhì)：
1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。
2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、P為ΔABC所在平面上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個頂點(diǎn)，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質(zhì)：
1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點(diǎn)M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。
有關(guān)三角形五心的詩歌
三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）
三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，
重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)．
此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓． 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，
直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.
內(nèi) 心
三角對應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線， 三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；
點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓， 此圓圓心稱“內(nèi)心”，如此定義理當(dāng)然．
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